Dérivées

Objectifs

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F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 1ère Année (Dunod), chapitres 6, 7.
I. Stewart, Analyse, concepts et contextes,volume 1, DeBoeck Université, 2001), chapitre 2, §2.6-§2.10, chapitre 3 et 4 L'accent est mis sur des situations "réelles" où intervient la notion de dérivée et beaucoup d'exercices mettent en avant un problème de modélisation en rapport avec les notions mathématiques.

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente
Dessins
Exercices sur les tangentes
Vocabulaire physique
Dérivée à droite, dérivée à gauche

Nombre dérivé et tangente

Taux de variation :

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

à valeurs réelles. Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de

f

entre les points

a

b

distincts de

I

est le quotient

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Le coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées

M = (a, f (a))

N = (b, f (b))

avec

a

différent de

b

est égale à

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

, c'est-à-dire au taux de variation de

f

entre

a

b

Nombre dérivé :

Soit

f

une fonction définie et continue sur un intervalle fermé

I

a

un réel dans

I

. Le nombre dérivé de

f

a

est la limite, si elle existe, du taux de variation de

f

entre

a

a + h

lorsque

h

tend vers 0 (avec

a + h

appartenant à

I

On le note

f' (a)

f' (a) = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}

Lorsque

f' (a)

existe, la tangente à la courbe en un point est la droite passant par le point

M_{0} = (a, f (a))

et de coefficient directeur

f' (a)

. C'est donc aussi la "limite" de la droite

M_{0} M

pour

M

un point sur la courbe représentative du graphe de

f

tendant vers

M_{0}

dans un sens "naturel". ( dessin (certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)

La droite jaune est la tangente au point

M_{0} = (0.5, 0.87758256)

à la courbe d'équation

y = f (x)

avec

f (x) = \cos (x)

. Elle est de pente

f' (0.5)

. C'est aussi la "limite" de la droite rouge

M_{0} M

pour

M = (0.5 + h, f (0.5 + h))

un point sur la courbe représentative du graphe de

f

tendant vers

M_{0}

Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point. )

Dessins

(certaines fonctions sont "plus jolies" que d'autres !)

La droite jaune est la tangente au point

M_{0} = (1, 0.5)

à la courbe d'équation

y = f (x)

avec

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

. Elle est de pente

f' (1)

. C'est aussi la "limite" de la droite rouge

M_{0} M

pour

M = (1 + h, f (1 + h))

un point sur la courbe représentative du graphe de

f

tendant vers

M_{0}

Cependant, la courbe suivante a une tangente en un point et est le graphe d'une fonction n'admettant pas de nombre dérivé en ce point.

Tangente verticale

Exercices sur les tangentes

Exercices sur le calcul des tangentes (révisions)
Trouver la tangente à une courbe
Trouver la valeur de certains paramètres pour qu'une courbe dépendant de paramètres admette une tangente donnée

Vocabulaire physique

Les mots suivants désignent en fait des taux de variation ou des dérivées de fonctions "naturelles".
En physique ou ailleurs, l'adjectif instantané évoque une dérivée au sens mathématique du terme, alors que l'adjectif moyen évoque plutôt un taux de variation entre deux points: par exemple, le taux de variation instantané est un exemple de ce qu'on appelle en mathématiques la dérivée.
Voilà un peu de vocabulaire.

Fonction	Variable	Taux de variation	Dérivée
distance parcourue	en fonction du temps	vitesse moyenne	vitesse ou vitesse instantanée
volume	en fonction du temps	débit moyen	débit (instantané)
masse d'une tige	en fonction de la longueur	densité linéique moyenne	densité linéique
masse d'une plaque	en fonction de la surface	densité surfacique moyenne	densité surfacique
charge électrique	en fonction du temps	courant électrique moyen	courant instantané
coût de production	en fonction de la quantité fabriquée		coût marginal
taille d'une population	en fonction du temps	taux d'accroissement moyen	taux d'accroissement instantané

Dérivée à droite, dérivée à gauche

Une définition un peu plus fine du nombre dérivé est de définir le nombre dérivé à droite et le nombre dérivé à gauche. L'utilité de cette notion est visible sur les dessins tout simples suivants.

Cette fonction dont le graphe est dessiné est continue. Le nombre dérivé existe en 0 si on restreint la fonction à

x \geq 0

(c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à droite ou la dérivée à droite), il existe en 0 si on restreint la fonction à

x \leq 0

(c'est ce qu'on appelle le nombre dérivé à gauche ou la dérivée à gauche ). Mais la dérivée n'existe pas en 0.

Exemples

Fonction dérivée

Si une fonction

f

est dérivable en tout point d'un intervalle

] a, b [

la fonction qui à un réel

x

] a, b [

associe le nombre dérivé de

f

x

est appelée la fonction dérivée de

f

. On la note

f'

. Si

f'

est elle-même dérivable, on note

f ″

sa dérivée, puis

f^{(3)}

, etc...

Graphe de la dérivée.
Produit, quotient et composé
Exercices : domaine de dérivabilité
Dérivabilité et ordre de dérivabilité
Utilisation des dérivées pour calculer des limites
Un exercice sur le cosinus

Graphe de la dérivée.

Il est important de savoir interpréter le graphe de la fonction dérivée en lien avec le graphe de la fonction. Les théorèmes seront revus plus tard et surtout démontrés. Pour l'instant, utilisez les connaissances que vous avez acquises en terminale ou dans le livre de Stewart, section 2.10, p. 175-177.
Le graphe de la fonction

f

définie par

f (x) =

est en rouge, le graphe de sa dérivée en bleu et le graphe de sa dérivée seconde en vert.

Pour le deviner, plusieurs choses à regarder :

Les extrema de $f$ peuvent suggérer un zéro de la fonction dérivée $f'$ .
Lorsque la fonction $f$ est croissante, sa dérivée est positive, lorsqu'elle est décroissante, sa dérivée est négative.
La concavité de $f$ donne des renseignements sur les intervalles où $f ″$ est positive.
Un point d'inflexion (changement de concavité) peut suggérer un zéro de $f ″$ .

Exercices :

Reconnaître le graphe de la dérivée d'une fonction à partir du graphe de la fonction parmi plusieurs graphes.
Distinguer le graphe d'une fonction et de ses dérivées

Produit, quotient et composé

Cours : Calcul de la dérivée d'un produit, d'un quotient et d'un composé de fonctions
Des exemples progressifs et détaillés sont donnés dans le livre de Stewart, volume 1, §3.2, p. 201 (fonctions produits et quotients), §3.5, p. 227 (fonctions composées).

Exercices sur

le calcul de la dérivée du produit et/ou des dialogues sur la dérivée d'un produit
le calcul de la dérivée du quotient et/ou des dialogues sur la dérivée d'un quotient
le calcul de la dérivée de la composée et/ou des dialogues sur la dérivée d'un composé

Exercices : domaine de dérivabilité

Exercice : Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition de la fonction, calculer la dérivée et donner le domaine de définition de la dérivée.

$f_{1} (x) = \sqrt{3 x^{2} + 7 x + 4} / (x - 1)$
Solution
$f_{1} (x) = \sqrt{3 x^{2} + 7 x + 4} / (x - 1)$ :
Comme $3 x^{2} + 7 x + 4 = (3 x + 4) (x + 1)$ , le domaine de définition de $f_{1}$ est
$D_{f_{1}} =] - ∞; \frac{- 4}{3}] \cup [- 1; 1 [\cup] 1; + ∞ [.$
La fonction racine carrée $x \to \sqrt{x}$ n'est pas dérivable (à droite) en 0. Aussi, la fonction $x \to \sqrt{3 x^{2} + 7 x + 4}$ n'est pas dérivable en -4/3 et en -1 et le domaine de définition de $f_{1}'$ est
$] - ∞; \frac{- 4}{3} [\cup] - 1; 1 [\cup] 1; + ∞ [.$
Pour $x$ dans ce domaine,
$f_{1}' (x) = \frac{- 13 x - 15}{2 (x - 1)^{2} \sqrt{3 x^{2} + 7 x + 4}}$ .
$f_{2} (x) = (\cos^{4} x + \sin^{4} x)^{3 / 4}$
Solution
$f_{2} (x) = (\cos^{4} x + \sin^{4} x)^{3 / 4}$
Puisque $(\cos^{4} x + \sin^{4} x) > 0$ pour tout $x$ , la fonction $f_{2}$ et et sa dérivée sont définies sur tout . On peut dériver $f_{2}$ en la mettant d'abord sous la forme $f_{2} (x) = (1 - \frac{\sin^{2} 2 x}{2})^{\frac{3}{4}}$ , ce qui donne
$f_{2}' (x) = - \frac{3}{2} (1 - \frac{\sin^{2} 2 x}{2})^{\frac{- 1}{4}} \sin 2 x \cos 2 x .$
$f_{3} (x) = ∣ x (x + 1) ∣ / ∣ x^{4} + x^{2} + 1 ∣$
Solution
$f_{3} (x) = ∣ x (x + 1) ∣ / ∣ x^{4} + x^{2} + 1 ∣$
Comme $x^{4} + x^{2} + 1$ ne s'annule pas sur ,
$D_{f_{3}} = ℝ .$
Par contre, la fonction valeur absolue $x \to ∣ x ∣$ n'est pas dérivable en 0. L'expression $x^{4} + x^{2} + 1$ n'est jamais nulle sur mais ce n'est pas le cas de $x (x + 1)$ . Le domaine de définition de $f_{3}'$ est
$D_{f_{3}'} =] - ∞; - 1 [\cup] - 1; 0 [\cup] 0; + ∞ [$ .
Pour $x$ dans $] - ∞; - 1 [\cup] 0; + ∞ [$ ,
$f_{3}' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 3 x^{4} - x^{2} + 2 x + 1}{(x^{4} + x^{2} + 1)^{2}} .$
Pour $x$ dans $] - 1; 0 [,$
$f_{3}' (x) = \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} + x^{2} - 2 x - 1}{(x^{4} + x^{2} + 1)^{2}} .$
$f_{4} (x) = \ln (\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)})$
Solution
Le logarithme est défini, continu et dérivable sur $ℝ^{+ *}$ . Donc $f_{4}$ est défini, continu et dérivable en tout réel $x$ tel que $1 - \sin (x)$ soit non nul et tel que $(1 + \sin (x)) / (1 - \sin (x))$ soit strictement positif :
$D_{f_{4}} = D_{f_{4}'} = ℝ ∖ {π / 2 + k π; k \in ℤ} .$
Pour $x \in D_{f_{4}}$ , $f_{4}' (x) = 2 / \cos x$ .

Dérivabilité et ordre de dérivabilité

Exercices :

Trouver les points où la fonction est continue mais non dérivable
trouver l'ordre de dérivabilité I
trouver l'ordre de dérivabilité II

Exercices : Recollement de fonctions

en un point avec un paramètre
en un point avec deux paramètres
en deux points

Questions sur la continuité de la dérivée

Un exercice sur le cosinus

Exercice : Montrer que les fonctions sinus et cosinus (définies géométriquement au lycée) sont dérivables en utilisant le résultat fondamental

\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

.
Aide

Utiliser les formules de trigonométrie, par exemple,

\cos a - \cos b = - 2 \sin (\frac{a - b}{2}) \sin (\frac{a + b}{2})

Solution

a

est un réel fixé nous devons calculer

\lim_{x \to a} \frac{\cos (x) - \cos (a)}{x - a} .

En utilisant la formule :

\cos p - \cos q = - 2 \sin (\frac{p - q}{2}) \sin (\frac{p + q}{2})

on obtient :

\frac{\cos (x) - \cos (a)}{x - a} = - 2 \frac{\sin (\frac{x - a}{2}) \sin (\frac{x + a}{2})}{x - a} .

Ce qui nous permet d'écrire :

\lim_{x \to a} \frac{\cos (x) - \cos (a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{- 2 \sin (\frac{x - a}{2}) \sin (\frac{x + a}{2})}{x - a}

= \lim_{x \to a} \frac{- 2 \sin (\frac{x - a}{2})}{x - a} \sin (\frac{x + a}{2})

Donc,

\lim_{x \to a} \frac{\cos (x) - \cos (a)}{x - a} = - \sin a

puisque

\lim_{x \to a} \frac{2 \sin (\frac{x - a}{2})}{x - a} = 1 .

Utilisation des dérivées pour calculer des limites

Quelques limites qui sont en fait des limites de taux d'accroissement peuvent se calculer en utilisant les dérivées classiques.

Exercice : Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to π / 3} (\cos (x) - 1 / 2) / (x - π / 3)$

$\sqrt{\frac{3}{2}}$
$\lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + x + x^{2}} - 1) / (x + \sin (x))$

Mettre l'expression sous la forme du quotient de deux taux d'accroissements.

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document d'introduction à la dérivée.
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