Frises et isométries

Sommaire

Ce document est une introduction aux frises. C'est un sujet d'application du cours sur les isométries du plan . L'objectif est de faire agir les isométries du plan sur un objet décoratif et de reconnaître les symétries d'une figure.

Pour une étude plus approfondie, consultez Doc Frises et Pavages .

Frises et isométries

Groupe des isométries d'une frise

Exercices

  1. Construire une frise invariante par des isométries données. Cliquez sur INTRO/CONFIG pour changer d'isométries.
  2. Symétries d'une frise
  3. Choix des éléments de symétrie
  4. Centres de symétrie d'une frise (dans la deuxième question, il faut cliquer sur tous les centres de symétrie.)

Images de frises

Les frises sont des éléments de décor qu'on retrouve dans de nombreuses civilisations. Leur régularité est due à l'action répétée de certaines isométries du plan sur un motif de base. Contemplez ces exemples pour vous familiariser avec ces objets.

Modèles de frises

  1. modèle 1
  2. modèle 2
  3. modèle 3
  4. modèle 4

Bande et décor

Bande du plan

On appelle bande du plan la zone du plan comprise entre deux droites parallèles, qu'on notera 𝒟 1 et 𝒟 2.

On suppose désormais choisie une bande ℬ du plan. On considère un décor (en couleur) dans la bande, c'est-à-dire une partie de la bande colorée ou non.

Décor dans une bande

Voici un décor dans une bande. Nous incluons ce décor dans une maille (cliquer sur la case maille) et nous construisons une frise (cliquer sur la case frise) . Les définitions de frise et maille sont à la page suivante.

Frise, maille

Frise dans une bande

Soit ℱ un décor de ℬ. On dit que ℱ est une frise de ℬ s'il existe un vecteur u⇀ non nul tel que :
  1. u⇀ est un vecteur directeur des deux droites frontières de la bande.
  2. ℱ est invariant par la translation de vecteur u⇀, c'est-à-dire : t u⇀(ℱ)=ℱ (en tenant compte des couleurs).
  3. Si ℱ est invariant par une translation de vecteur v⇀, alors v⇀ est de la forme v⇀=k.u⇀, k étant un entier relatif.

Ainsi, u⇀ est un des deux vecteurs non nuls de norme minimale des translations laissant ℱ invariant. On dit que u⇀ est un vecteur minimal de la frise . On note ℱ u⇀ une frise de vecteur minimal u⇀.

On peut exprimer de façon concrète le fait que ℱ soit invariant par la translation de vecteur u⇀: si on décalque ℱ, et si on fait glisser le calque suivant le vecteur u⇀ , on peut de nouveau faire coïncider le dessin de ℱ sur le calque avec ℱ.

Maille d'une frise

On appelle maille d'une frise ℱ u⇀ la partie de la frise contenue dans un parallélogramme ABCD de côtés [AB] et [DC] portés par les droites 𝒟 1 et 𝒟 2, frontières de la bande et vérifiant AB→=DC→=u⇀.

La frise est l'union des translatés de la maille.


Exemples. Consultez la figure à la page précédente et d'autres exemples ici .

Isométrie d'une frise

On s'intéresse maintenant aux isométries qui conservent (ou laissent invariantes) la frise ℱ u⇀.

Isométrie de la frise

On dit qu'une isométrie ϕ est une isométrie de la frise ℱ dessinée dans la bande ℬ si
  1. l'image de la bande ℬ par ϕ est égale à la bande ℬ
  2. la frise ℱest invariante par ϕ.
Parmi les isométries de la frise, on trouve évidemment des translations.

Translations de la frise

Les seules translations qui conservent ℱ u⇀ sont les translations de vecteurs multiples entiers de u⇀, c'est-à-dire de vecteurs v⇀=k.u⇀ où k∈ℤ.
Notons T(ℱ u⇀) leur ensemble. L'ensemble (T(ℱ u⇀),∘) est un groupe.

Groupe des isométries d'une frise

Les isométries d'une frise ℱ u⇀ forment un groupe pour la composition. On le note G(ℱ u⇀). Il contient T(ℱ u⇀)={t ku⇀,k∈ℤ}.

Comme on l'observe sur les exemples, le groupe d'une frise reflète les ``symétries'' de la frise (symétries au sens commun). Pour cette raison, il joue un rôle important dans l'étude des frises. Dans la suite, on étudie quelques propriétés des groupes des frises.

Dire que l'ensemble des isométries d'une frise ℱ u⇀ est un groupe pour la composition, cela signifie :
  1. G(ℱ u⇀) contient l'identité.
  2. Si g et h sont des isométries de la frise, g∘h conserve la frise.
  3. Si h appartient à G(ℱ u⇀), alors h −1 appartient à G(ℱ u⇀)

Pour une étude complète des différents types de groupes de frises, consultez le cours Doc Frises et Pavages .

Premiers exemples

Exemples : Dans l'exemple 1, le groupe est réduit à T(ℱ u⇀). Dans l'exemple 2, il contient en plus des symétries centrales.

Exemple 1 : Voici une frise de triangles dont le groupe est réduit au groupe des translations de vecteur k.u⇀ ( k∈ℤ).
On a hachuré une maille rectangulaire et une maille parallélogramme.
maille d'une frise

Exemple 2 : Cette frise est invariante par des symétries centrales, par exemple celles de centre Q, Q′, Q″... En voyez-vous d'autres ?
Une maille est hachurée une fois ; un motif qu'elle contient est hachuré deux fois.
motif d'une frise

Motif d'une frise

Un motif d'une frise ℱ u⇀ est une partie minimale de la maille qui permet de construire la frise en faisant agir les isométries conservant ℱ.
Exemples de mailles et de motifs

Exemples de mailles et de motifs

Une maille est entourée en rouge, un motif est le rectangle à fond clair

Sur un pied : Une maille et un motif sont confondus.
traces de pas

La maille contient les deux pieds, le motif un seul puisque le second s'obtient par isométrie de la frise.

Marche normale
traces de pas
Saut à pieds joints
traces de pas
Danse folklorique
traces de pas

Droite invariante du groupe d'une frise

On appelle médiane d'une bande ℬ de frontière 𝒟 1 et 𝒟 2 la droite 𝒟 équidistante de 𝒟 1 et 𝒟 2.

Proposition. La médiane est invariante par toute isométrie de ℱ u⇀.

En effet la frontière de la bande est invariante par toute isométrie de ℱ u⇀. De plus la médiane est définie par une propriété de distance.

médiane

Eléments caractéristiques des isométries d'une frise

Les propriétés d'invariance de la bande et de la médiane permettent de préciser les éléments caractéristiques des isométries de G(ℱ u⇀).

Théorème.
  1. Les centres de symétries de ℱ u⇀ appartiennent à 𝒟.
  2. Les axes des réflexions appartenant à G(ℱ u⇀) sont 𝒟 ou les perpendiculaires à 𝒟.
  3. Si G(ℱ u⇀) contient une symétrie glissée, celle-ci est d'axe 𝒟 et de vecteur k2⋅u→, avec k∈ℤ.
  4. Le groupe G(ℱ u⇀) ne contient aucune rotation qui ne soit ni l'identité, ni une symétrie centrale.
Démonstration.

Les résultats nécessaires à cette démonstration sont disponibles dans le cours Isométries du plan .

(1) et (2) résultent des propriétés des droites invariantes par une symétrie centrale ou par une réflexion.

(3) Le carré d'une symétrie glissée qui conserve la frise est une translation qui conserve la frise, donc son vecteur est un multiple de u⇀.

(4) résulte de l'absence de droite invariante par une rotation qui n'est ni l'identité, ni une symétrie centrale.

Symétries glissées d'une frise

Nous précisons ici quand le groupe d'une frise contient des symétries glissées et lesquelles.

Théorème.

Si G(ℱ u⇀) contient s 𝒟, il contient une infinité de symétries glissées t ku⇀∘s 𝒟 ( k∈ℤ).

Si G(ℱ u⇀) ne contient pas s 𝒟 et contient une symétrie glissée, alors il contient la symétrie glissée t u⇀2∘s 𝒟 et ses composées avec les translations.

cours sur les frises pour faire agir et reconnaître leurs isométries.
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